Ćwiczenia 10: moce cz. 2

Zadania

1. Znaleźć moc zbioru funkcji nierosnących z \(\mathbb{N}\) do \(\mathbb{N}\).
2. Znaleźć moc zbioru wszystkich relacji równoważności w \(\mathbb{N}\).
3. Znaleźć moc zbioru Cantora. Zbiór Cantora to przecięcie ciągu zbiorów:
   \(C_0 = (0,1)\),
   \(C_1 = (0,\frac{1}{3}) \cup (\frac{2}{3},1)\),
   \(C_2= (0,\frac{1}{9}) \cup (\frac{2}{9},\frac{1}{3}) \cup (\frac{2}{3},\frac{8}{9}) \cup (\frac{8}{9},1)\),
   ...
   \(C = \bigcap_{n\in \mathbb{N}}C_n\).
4.  Funkcję \(f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) nazywamy zygzakiem wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek
   \[ \begin{multline*}\forall_{x>0} ((f(x)>f(x-1) \to f(x) > f(x+1)) \\
   \wedge (f(x)<f(x-1) \to f(x) < f(x+1))).\end{multline*}\]
   Jakiej mocy jest zbiór wszystkich zygzaków?
5. a) Jaka jest moc zbioru \(A = \{ f :\mathbb{N} \to \mathbb{N} \mid \forall_x( f(x) \leq x)\}\)?
   b) Jaka jest moc zbioru \(B = \{ f \in A \mid f \hbox{ jest na }\mathbb{N}\}\)?
   c) Jaka jest moc zbioru \(C =  \{ f \in A \mid f \hbox{ jest różnowartościowa}\}\)?
6. Jaka jest moc zbioru \(\mathbb{R}^\mathbb{N}\)?
7. Jaka jest moc zbioru F tych funkcji \(f : P(\mathbb{N}) \to  P(\mathbb{N})\) takich, że dla każdego skończonego \(Z \subseteq \mathbb{N}\) wartość \(f(Z)\) jest skończona?

Praca domowa

1. Jaka jest moc rodziny tych relacji równoważności w \(\mathbb{N}\), które mają skończenie wiele klas abstrakcji?
   
2. Ile jest takich funkcji \(f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\), że każdy zbiór \(f^{-1}(\{n\})\) jest skończony?

Wesołych Świąt!