Ćwiczenia 10: moce cz. 2

Zadania

1. Znaleźć moc zbioru funkcji nierosnących z \(\mathbb{N}\) do \(\mathbb{N}\).
2. Znaleźć moc zbioru wszystkich relacji równoważności w \(\mathbb{N}\).
3. Znaleźć moc zbioru Cantora. Zbiór Cantora to przecięcie ciągu zbiorów:
   \(C_0 = (0,1)\),
   \(C_1 = (0,\frac{1}{3}) \cup (\frac{2}{3},1)\),
   \(C_2= (0,\frac{1}{9}) \cup (\frac{2}{9},\frac{1}{3}) \cup (\frac{2}{3},\frac{8}{9}) \cup (\frac{8}{9},1)\),
   ...
   \(C = \bigcap_{n\in \mathbb{N}}C_n\).
4.  Funkcję \(f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) nazywamy zygzakiem wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek
   \[ \begin{multline*}\forall_{x>0} ((f(x)>f(x-1) \to f(x) > f(x+1)) \\
   \wedge (f(x)<f(x-1) \to f(x) < f(x+1))).\end{multline*}\]
   Jakiej mocy jest zbiór wszystkich zygzaków?
5. a) Jaka jest moc zbioru \(A = \{ f :\mathbb{N} \to \mathbb{N} \mid \forall_x( f(x) \leq x)\}\)?
   b) Jaka jest moc zbioru \(B = \{ f \in A \mid f \hbox{ jest na }\mathbb{N}\}\)?
   c) Jaka jest moc zbioru \(C =  \{ f \in A \mid f \hbox{ jest różnowartościowa}\}\)?
6. Jaka jest moc zbioru \(\mathbb{R}^\mathbb{N}\)?
7. Jaka jest moc zbioru F tych funkcji \(f : P(\mathbb{N}) \to  P(\mathbb{N})\) takich, że dla każdego skończonego \(Z \subseteq \mathbb{N}\) wartość \(f(Z)\) jest skończona?

Praca domowa

1. Jaka jest moc rodziny tych relacji równoważności w \(\mathbb{N}\), które mają skończenie wiele klas abstrakcji?
   
2. Ile jest takich funkcji \(f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\), że każdy zbiór \(f^{-1}(\{n\})\) jest skończony?

Wesołych Świąt!

Ćwiczenia 9: równoliczność, moce

Zadania

1. Pokazać, że \(P(A) \sim \{0,1\}^{A}\).
2. Pokazać, że jeśli \(A \sim B\), to \(P(A) \sim P(B)\).
3. Znaleźć moc zbioru skończonych podzbiorów \(\mathbb{N}\).
4. Znaleźć moc zbioru ciągów liczb wymiernych stałych od pewnego miejsca.
5. Znaleźć moc zbioru funkcji z \(\mathbb{N}\) do \(\mathbb{N}\).
6. Znaleźć moc zbioru funkcji niemalejących z \(\mathbb{N}\) do \(\mathbb{N}\).

Praca domowa

1. Niech s będzie relacją w \(\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}\) taką, że \(\langle f, g \rangle \in s\) wtedy i tylko wtedy, gdy różnica \(f - g\) jest zbieżna do zera. Pokazać, że s jest relacją równoważności. Wskazać trzy różne klasy abstrakcji.
2. Znaleźć moc zbioru wszystkich ciągów liczb wymiernych, które są zbieżne do zera.

Ćwiczenia 8: relacje równoważności

Zadania

1. Jaka jest najmniejsza i największa (w sensie zawierania) relacja równoważności w zbiorze \(A\)?
2. Czy relacja równoważności może być częściowym porządkiem?
3. Czy istnieje relacja równoważności na \(\mathbb{N}\), która ma:
   a) dokładnie 2 klasy abstrakcji po 37 elementów,
   b) 2 klasy abstrakcji po 17 elementów, 3 klasy po 33 elementy i jedną nieskończoną,
   c) nieskończenie wiele klas abstrakcji, każda o nieskończonej liczbie elementów.
4. Niech \(r \subseteq P(\mathbb{N}) \times P(\mathbb{N})\) będzie taka, że
   \[ \langle X, Y \rangle \in r \hbox{ wtw istnieje skończony }Z\hbox{ taki, że } X \cup Z =Y \cup Z.  \]
   a) Udowodnić, że r jest relacją równoważności.
   b) Znaleźć \([\emptyset]_r\).
5. Niech \(r \subseteq (\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \times (\mathbb{N} \to \mathbb{N} )\) będzie określona w następujący sposób:
   \[\langle f, g\rangle \in r \hbox{ wtw } f(\mathbb{N}) = g(\mathbb{N}).\]
   a) Udowodnić jednym krótkim zdaniem, że r jest relacją równoważności.
   b) Znaleźć klasy \([\lambda x.1]_r\) i \([id_{\mathbb{N}}]_r\).
   c) Czy zbiór wszystkich funkcji różnowartościowych jest klasą abstrakcji tej relacji?
   d) Czy istnieje dwuelementowa klasa abstrakcji?
6. Niech A będzie niepustym zbiorem i niech \(f : A \to A\).
   a) Udowodnić, że jeśli f jest różnowartościowa, to relacja \(r \subseteq A \times A\) dana warunkiem
   \[ x r y \Leftrightarrow \exists n\in \mathbb{N} (f^n(x) = y \wedge f^n(y) = x)\]
   jest relacją równoważności.
   b) Podać przykład takich A, f, że r ma nieskończenie wiele skończonych klas abstrakcji, każdą o innej liczbie elementów. (Można zrobić rysunek.)

Dziś nie ma pracy domowej.