Ćwiczenia 2: suma uogólniona, iloczyn uogólniony, iloczyn kartezjański

1. a) Czy jeśli \(A \subseteq B\), to \(\bigcap A \subseteq \bigcap B\)?
   b) Czy jeśli \(A \subseteq B\), to \(\bigcap B \subseteq \bigcap A\)?
2. Czy dla dowolnych niepustych \(A\), \(B\) o niepustym przecięciu zachodzą równości:
   a) \(\bigcap A \cap \bigcap B = \bigcap (A \cap B)\),
   b) \(\bigcap A \cap \bigcap B = \bigcap (A \cup B)\),
   c) \(\bigcup A \cup \bigcup B = \bigcup (A \cap B)\)?
3. Które z następujących równości zachodzą dla dowolnego zbioru A:
   a) \( \bigcap \{ P(B) \mid B \subseteq A\} = \{ \bigcap P(B) \mid B \subseteq A \}\),
   b) \( \bigcup \{ P(B) \mid B \subseteq A\} = \{ \bigcup P(B) \mid B \subseteq A \}\)?
4. Kiedy \(A \times B = B \times A\)?
5. Czy następująca równość zachodzi dla dowolnych niepustych rodzin \(A\), \(B\):
   \[\bigcap A \times \bigcap B = \bigcap \{ \alpha \times \beta \mid \alpha \in A \wedge  \beta \in B\}?\]
6. Znaleźć \(\bigcup_{t \in \mathbb{R}^+} A_t\) i \(\bigcap_{t \in \mathbb{R}^+} A_t\), gdzie
   \[A_t = \{\langle x, y \rangle \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \mid | x - t | + |y | \leq 1\}.\]

Praca domowa

1.  Czy dla dowolnych niepustych \(A\), \(B\) o niepustym przecięciu zachodzą równości:
   a) \(\bigcap A \cup \bigcap B = \bigcap (A \cup B)\),
   b) \(\bigcup A \cap \bigcup B = \bigcup (A \cap B)\).
2. Udowodnić, że dla dowolnych niepustych A, B, X, Y zachodzi równoważność
   \[ A \times B \subseteq X \times Y \Leftrightarrow A \subseteq X \wedge B \subseteq Y. \]
   Czy założenie niepustości jest istotne?