Ćwiczenia 1: rachunek zbiorów, zbiór potęgowy, suma uogólniona

Zadania

1. Czy dla dowolnych zbiorów \(A\), \(B\), \(C\) zachodzą równości:
   a) \(A - (B \cup C) = (A - B) - C\),
   b) \(A - (B - C) = (A - B) \cup C\) ?
2. Sprawdzić, czy dla dowolnych zbiorów w \(A\), \(B\), \(C\) zachodzi następująca implikacja:
   a) jeśli \( A - B = B - A \), to \( A = B\),
   b) jeśli \(C - B \subseteq C - A\), to \(A \subseteq B\),
   c) jeśli \(A \cup B = C\), to \(C - B = A - B\).
3. Zbadać, czy dla dowolnych \(A\), \(B\) zachodzi:
   a) \(P (A \cup B) = P(A) \cup P(B)\),
   b) \(P (A \cap B) = P(A) \cap P(B)\).
4. Która z implikacji jest prawdziwa dla dowolnych zbiorów \(A\), \(B\):
   \[ A \subseteq B \hbox{ wtw. } P(A) \subseteq P(B) ? \]
5. Udowodnić, że \(\bigcup P(A) = A\) dla dowolnego A.
6. Czy jeśli \(A \subseteq B\), to \( \bigcup A \subseteq \bigcup B\)?
   Czy jeśli \( \bigcup A \subseteq \bigcup B\), to \(A \subseteq B\)? 
7. Sprawdzić, czy dla dowolnych \(A\), \(B\) zachodzi
   \[ \bigcup A \cup \bigcup B = \bigcup (A \cup B) ?\]

Praca domowa

1. Czy dla dowolnych zbiorów \(A\), \(B\), \(C\) zachodzą równości:
   a) \(A \cup (A \cap B) = A\),
   b) \(A - (B \cup C) = (A-B)\cup(A-C)\).
2. Czy istnieją zbiory A, B takie, że \(P(A-B) = P(A) - P(B)\)?