Ćwiczenia 12: lemat Kuratowskiego-Zorna

Zadania

1. Niech A będzie dowolnym zbiorem i niech \(B \subseteq A \times A\). Udowodnić, że istnieje maksymalny zbiór \(C \subseteq A\) taki, że \(C \times C \subseteq B\).
2. Niech \(B \subseteq \RR_+\). Udowodnić, że istnieje zbiór \(C \subseteq \RR\) taki, że
• \( \forall x,y \in C (x \neq y \to | x -y | \in B) \),
• \( \forall x \not\in C (\exists y \in C | x -y | \not \in B) \).
3. Udowodnić, że każdy porządek częściowy można rozszerzyć do porządku liniowego.

Praca domowa (nieobowiązkowa)

1. Dowolny podzbiór \(\ZZ\) nazwiemy zeznaniem. Zbiór zeznań \(\mathcal{R}\) jest sprzeczny, jeśli istnieje w nim takie \(i \in \ZZ\), że \(i, -i \in \bigcup \mathcal{R}\). Udowodnić, że jeśli \(\mathcal{R}\) jest dowolną rodziną zeznań, to istnieje maksymalna niesprzeczna podrodzina \(R \subseteq \mathcal{R}\).