Ćwiczenia 10: moce cz. 2

Zadania

1. Znaleźć moc zbioru funkcji nierosnących z \(\mathbb{N}\) do \(\mathbb{N}\).
2. Znaleźć moc zbioru wszystkich relacji równoważności w \(\mathbb{N}\).
3. Znaleźć moc zbioru Cantora. Zbiór Cantora to przecięcie ciągu zbiorów:
   \(C_0 = (0,1)\),
   \(C_1 = (0,\frac{1}{3}) \cup (\frac{2}{3},1)\),
   \(C_2= (0,\frac{1}{9}) \cup (\frac{2}{9},\frac{1}{3}) \cup (\frac{2}{3},\frac{8}{9}) \cup (\frac{8}{9},1)\),
   ...
   \(C = \bigcap_{n\in \mathbb{N}}C_n\).
4.  Funkcję \(f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) nazywamy zygzakiem wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek
   \[ \begin{multline*}\forall_{x>0} ((f(x)>f(x-1) \to f(x) > f(x+1)) \\
   \wedge (f(x)<f(x-1) \to f(x) < f(x+1))).\end{multline*}\]
   Jakiej mocy jest zbiór wszystkich zygzaków?
5. a) Jaka jest moc zbioru \(A = \{ f :\mathbb{N} \to \mathbb{N} \mid \forall_x( f(x) \leq x)\}\)?
   b) Jaka jest moc zbioru \(B = \{ f \in A \mid f \hbox{ jest na }\mathbb{N}\}\)?
   c) Jaka jest moc zbioru \(C =  \{ f \in A \mid f \hbox{ jest różnowartościowa}\}\)?
6. Jaka jest moc zbioru \(\mathbb{R}^\mathbb{N}\)?
7. Jaka jest moc zbioru F tych funkcji \(f : P(\mathbb{N}) \to  P(\mathbb{N})\) takich, że dla każdego skończonego \(Z \subseteq \mathbb{N}\) wartość \(f(Z)\) jest skończona?

Praca domowa

1. Jaka jest moc rodziny tych relacji równoważności w \(\mathbb{N}\), które mają skończenie wiele klas abstrakcji?
   
2. Ile jest takich funkcji \(f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\), że każdy zbiór \(f^{-1}(\{n\})\) jest skończony?

Wesołych Świąt!

Ćwiczenia 9: równoliczność, moce

Zadania

1. Pokazać, że \(P(A) \sim \{0,1\}^{A}\).
2. Pokazać, że jeśli \(A \sim B\), to \(P(A) \sim P(B)\).
3. Znaleźć moc zbioru skończonych podzbiorów \(\mathbb{N}\).
4. Znaleźć moc zbioru ciągów liczb wymiernych stałych od pewnego miejsca.
5. Znaleźć moc zbioru funkcji z \(\mathbb{N}\) do \(\mathbb{N}\).
6. Znaleźć moc zbioru funkcji niemalejących z \(\mathbb{N}\) do \(\mathbb{N}\).

Praca domowa

1. Niech s będzie relacją w \(\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}\) taką, że \(\langle f, g \rangle \in s\) wtedy i tylko wtedy, gdy różnica \(f - g\) jest zbieżna do zera. Pokazać, że s jest relacją równoważności. Wskazać trzy różne klasy abstrakcji.
2. Znaleźć moc zbioru wszystkich ciągów liczb wymiernych, które są zbieżne do zera.

Ćwiczenia 8: relacje równoważności

Zadania

1. Jaka jest najmniejsza i największa (w sensie zawierania) relacja równoważności w zbiorze \(A\)?
2. Czy relacja równoważności może być częściowym porządkiem?
3. Czy istnieje relacja równoważności na \(\mathbb{N}\), która ma:
   a) dokładnie 2 klasy abstrakcji po 37 elementów,
   b) 2 klasy abstrakcji po 17 elementów, 3 klasy po 33 elementy i jedną nieskończoną,
   c) nieskończenie wiele klas abstrakcji, każda o nieskończonej liczbie elementów.
4. Niech \(r \subseteq P(\mathbb{N}) \times P(\mathbb{N})\) będzie taka, że
   \[ \langle X, Y \rangle \in r \hbox{ wtw istnieje skończony }Z\hbox{ taki, że } X \cup Z =Y \cup Z.  \]
   a) Udowodnić, że r jest relacją równoważności.
   b) Znaleźć \([\emptyset]_r\).
5. Niech \(r \subseteq (\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \times (\mathbb{N} \to \mathbb{N} )\) będzie określona w następujący sposób:
   \[\langle f, g\rangle \in r \hbox{ wtw } f(\mathbb{N}) = g(\mathbb{N}).\]
   a) Udowodnić jednym krótkim zdaniem, że r jest relacją równoważności.
   b) Znaleźć klasy \([\lambda x.1]_r\) i \([id_{\mathbb{N}}]_r\).
   c) Czy zbiór wszystkich funkcji różnowartościowych jest klasą abstrakcji tej relacji?
   d) Czy istnieje dwuelementowa klasa abstrakcji?
6. Niech A będzie niepustym zbiorem i niech \(f : A \to A\).
   a) Udowodnić, że jeśli f jest różnowartościowa, to relacja \(r \subseteq A \times A\) dana warunkiem
   \[ x r y \Leftrightarrow \exists n\in \mathbb{N} (f^n(x) = y \wedge f^n(y) = x)\]
   jest relacją równoważności.
   b) Podać przykład takich A, f, że r ma nieskończenie wiele skończonych klas abstrakcji, każdą o innej liczbie elementów. (Można zrobić rysunek.)

Dziś nie ma pracy domowej.

Ćwiczenia 7: porządki cz. 2

Zadania

1. Rozważmy częściowy porządek \(\langle A \leadsto B, \leq \rangle\), gdzie \(A \leadsto B\) to zbiór funkcji częściowych z A do B i \(f \leq g\), wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego \(a \in A\) albo \(f(a)\) jest nieokreślone, albo obie funkcje są określone i \(f(a) = g(a)\). Czy \(\langle A \leadsto B, \leq \rangle\) jest kratą zupełną?
2. Udowodnij, że \(\langle A \leadsto B, \leq \rangle\) jest częściowym porządkiem zupełnym.
3. Niech A i B będą zbiorami częściowo uporządkowanymi i niech funkcje \(f : A \to B\) i \(g : B \to A\) będą monotoniczne. Udowodnić, że następujące warunki są równoważne:
   a) \(\forall a \in A \forall b \in B (a \leq g(b) \leftrightarrow f(a) \leq b  )\)
   b) \(\forall a \in A (a \leq g(f(a))) \wedge \forall b \in B (f(g(b)) \leq b)\).
4. Podaj przykład takiego przekształcenia monotonicznego f w kracie \(\langle P(\mathbb{N}), \subseteq \rangle\), że kres górny zbioru \( \{ f^n(\emptyset) \mid  n \in \mathbb{N}\} \) nie jest najmniejszym punktem stałym.
5. Niech A będzie częściowym porządkiem zupełnym i niech \(f : A \to A\) będzie ciągła. Udowodnić, że jeśli \(a \leq f(a)\), to istnieje taki punkt stały b funkcji f, że \(a \leq b\).

Praca domowa

1. Które z następujących stwierdzeń jest prawdziwe dla dowolnego zbioru częściowo uporządkowanego  \(\langle X, \leq \rangle\) i dowolnych \(A, B \subseteq X\):
   a) Jeśli w X istnieje \(\sup A\) i \(\sup B\), to istnieje \(\sup (A \cup B)\).
   b) Jeśli w X istnieje \(\sup (A \cup B)\), to istnieją.\(\sup A\) i \(\sup B\).
   
2. Niech X będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech \(A \subseteq X\) nie ma elementu największego. Niech \(B = \{b \in X \mid \forall a \in A (b > a) \}. \) Pokazać, że jeśli istnieje \(\inf B\), to istnieje \(\sup A\) oraz \(\sup A = \inf B \in B\).
3. Dla chętnych: skończyć zadanie 4 z zajęć.

Wykład "Ataki na aplikacje internetowe"

Zapraszam na wykład mojego kolegi z pracy Michała Kołodziejskiego pt. "Ataki na aplikacje internetowe". Wykład odbędzie się w czwartek 20 listopada 2014 roku o godzinie 14 (bez kwadransa) w sali 5070.

Ćwiczenia 6: porządki

Zadania

1. W zbiorze \(\{1,2,3,5,12,15,18,180\}\) uporządkowanym przez relację podzielności wskazać elementy minimalne, maksymalne, najmniejsze, największe. Czy istnieją w tym zbiorze pięcioelementowe łańcuchy? a trzyelementowe antyłańcuchy? Wskaż kres dolny zbioru \(\{3,12\}\) oraz kres górny zbioru \(\{2,5\}\).
2. Podać przykład zbioru częściowo uporządkowanego z dwoma elementami maksymalnymi, jednym minimalnym, bez elementu najmniejszego i z takim czteroelementowym antyłańcuchem, który jest ograniczony z góry, ale nie ma kresu górnego.
3. Rozpatrzmy częściowe uporządkowanie zbioru \(\{0,1\}^{\mathbb{N}}\):
   \[ f \leq g \hbox{ wtw. } \forall_x f(x) \leq g(x)\]
   a) Czy ten porządek jest liniowy?
   b) Czy istnieje w nim łańcuch nieskończony?
   c) Czy istnieje antyłańcuch nieskończony?
   d) Czy ma element największy, najmniejszy, minimalny, maksymalny?
4. Czy zbiór \(\{01^n \mid n \in \mathbb{N}\}\) ma kres górny (dolny) w zbiorze \(\{0,1\}^{*}\) uporządkowanym leksykograficznie?
5. Czy zbiór \(\{0^n1 \mid n \in \mathbb{N}\}\) ma kres górny (dolny) w zbiorze \(\{0,1\}^{*}\) uporządkowanym leksykograficznie?
6. Dany jest następujący częściowy porządek w zbiorze \(P(\mathbb{N} - \{\emptyset\}\):
   \[X \leq Y \hbox{wtw.} ((\min(X) < \min(Y))
   \vee (\min(X) = \min(Y) \wedge X \subseteq Y).\]
   a) Czy ten porządek jest liniowy?
   b) Czy istnieje w tym zbiorze nieskończony ciąg malejący?
   c) Wskaż elementy minimalne, maksymalne, największe, najmniejsze.

 Praca domowa

1. Jeśli \(\leq\) jest cześciowym porządkiem w A, to relację < nazywamy ostrym uporządkowaniem wyznaczonym przez \(\leq\). Pokazać, że ostre uporządkowania wyznaczone przez porządki częściowe to dokładnie te relacje, które są przechodnie i przeciwzrotne.
2. Niech \(\langle X, r \rangle, \langle Y, s \rangle \) będą niepustymi zbiorami częściowo uporządkowanymi. Pokazać, że
   a) \(\langle X \oplus Y, r \oplus s \rangle \) jest zbiorem częściowo uporządkowanym bez elementu największego.
   b) Dla dowolnego \(a \in X \oplus Y\) element a jest minimalny w \(\langle X \oplus Y, r \oplus s \rangle \) wtedy i tylko wtedy, gdy a jest elementem minimalnym w \(\langle X, r \rangle\) lub \(\langle Y, s \rangle \).

Ćwiczenia 5: relacje

Zadania

1.  Znaleźć przykład pięcioelementowej relacji na zbiorze liczb naturalnych, która jest
   a) przechodnia,
   b) symetryczna,
   c) zwrotna.
2. Dla jakich relacji \(r \subseteq A \times A\) zachodzą równości \(r \cdot r^{-1} = r^{-1} \cdot r = 1_A\)?
3. Udowodnić, że \(r^+ = \bigcup_{n > 0} r^n\).
4. Niech \(r, s \subseteq A \times A\). Czy dla dowolnych relacji \(r,s\) prawdziwa jest równość \((r^*)^{-1} = (r^{-1})^*\)?

Praca domowa

1. Niech \(\mathcal{R}\) będzie taką niepustą rodziną relacji przechodnich w zbiorze A, że dla dowolnych \(r, s \in \mathcal{R}\)  zachodzi \(r \subseteq s\) lub \(s \subseteq r\). Udowodnić, że \(\bigcup \mathcal{R}\) jest relacją przechodnią.
2. Niech\(\varphi : P(\mathbb{N}) \to P(P(\mathbb{N}) \times P(\mathbb{N}))\) będzie taką funkcją, że dla dowolnego \(Z \in P(\mathbb{N})\)
   \[\varphi(Z) = \{\langle X, Y\rangle \mid Z \subseteq X \cap Y\}.\]
   a) Czy \(\varphi\) jest różnowartościowa?
   b) Czy \(\varphi\) jest na?
   c) Która z poniższych równości zachodzi dla dowolnych \(Z_1, Z_2 \in P(\mathbb{N})\)
   • \(\varphi(Z_1 \cap Z_2) = \varphi(Z_1) \cap \varphi(Z_2)\),
   • \(\varphi(Z_1 \cup Z_2) = \varphi(Z_1) \cup \varphi(Z_2)\)?